Métropole, septembre 2023

Partie A
On définit sur l’intervalle  $]0;+\mathrm{\infty }[$ la fonction  $g$  par :  $g(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+\ln x$ .
On admet que la fonction  $g$  est dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[=I$  et on note $g^{\prime }$  sa fonction dérivée.

1. Montrer que, pour  $x>0,$ le signe de $g^{\prime }(x)$  est celui du trinôme du second degré $(x^2-2x+2)$ .

2. En déduire que la fonction $g$  est strictement croissante sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ .

3. Montrer que l'équation  $g(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle  $[0,5;1],$  que l'on notera $\alpha$ .

4. On donne le tableau de signes de $g$  sur l'intervalle  $]0;+\mathrm{\infty }[=I$ .

Justifier ce tableau de signes à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes.

Partie B

On considère la fonction  $f$ définie sur l'intervalle  $]0;+\mathrm{\infty }[=I$ par : $f(x)={\text{e}}^x\ln x$ .
On note $C_f$  la courbe représentative de $f$  dans un repère orthonormé.

1. On admet que la fonction  $f$ est deux fois dérivable sur  $]0;+\mathrm{\infty }[$ , on note  $f^{\prime }$ sa fonction dérivée,  $f^{\prime \prime }$ sa fonction dérivée seconde et on admet que : pour tout nombre réel  $x>0,f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x({\displaystyle \frac{1}{x}}+\ln x)$ . 
Démontrer que, pour tout nombre réel $x>0$ , on a : $f^{\prime \prime }(x)={\text{e}}^x\times g(x)$ , où  $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.

2. a. Dresser le tableau de signes de la fonction  $f^{\prime \prime }$  sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ . Justifier.
    b. Justifier que la courbe  $C_f$ admet un unique point d’inflexion $\text{A}$ .
    c. Étudier la convexité de la fonction  $f$ sur l’intervalle $]0;+\mathrm{\infty }[$ . Justifier.

3. a. Calculer les limites de  $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
    b. Montrer que $f^{\prime }(\alpha )={\displaystyle \frac{{\text{e}}^{\alpha }}{{\alpha }^2}}(1-\alpha )$ .
On rappelle que  $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $g(x)=0$ .
    c. Démontrer que  $f^{\prime }(\alpha )>0$ et en déduire le signe de  $f^{\prime }(x)$ pour  $x$ appartenant à $]0;+\mathrm{\infty }[$ .
    d. En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$  sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ .