Métropole, septembre 2023

Partie A
On définit sur l’intervalle  \(]0\; ; +\infty[\) la fonction  \(g\)  par :  \(g(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln x\) .
On admet que la fonction  \(g\)  est dérivable sur \(]0\; ; +\infty[=I\)  et on note \(g^{\prime}\)  sa fonction dérivée.

1. Montrer que, pour  \(x > 0,\) le signe de \(g^{\prime}(x)\)  est celui du trinôme du second degré \((x^2 - 2x + 2)\) .

2. En déduire que la fonction \(g\)  est strictement croissante sur \(]0\; ; +\infty[\) .

3. Montrer que l'équation  \(g(x) = 0\) admet une unique solution sur l'intervalle  \([0{,}5\; ; 1],\)  que l'on notera \(\alpha\) .

4. On donne le tableau de signes de \(g\)  sur l'intervalle  \(]0\; ; +\infty[=I\) .

Justifier ce tableau de signes à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes.

Partie B

On considère la fonction  \(f\) définie sur l'intervalle  \(]0\; ; +\infty[=I\) par : \(f(x) = \text{e}^x \ln x\) .
On note \(C_f\)  la courbe représentative de \(f\)  dans un repère orthonormé.

1. On admet que la fonction  \(f\) est deux fois dérivable sur  \(]0 \;; +\infty[\) , on note  \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée,  \(f^{\prime{\prime}}\) sa fonction dérivée seconde et on admet que : pour tout nombre réel  \(x>0, f^{\prime}(x) = \mathrm{e}^x \left( \dfrac{1}{x} + \ln x\right)\) . 
Démontrer que, pour tout nombre réel \(x > 0\) , on a : \(f^{\prime{\prime}}(x) = \text{e}^x×g(x)\) , où  \(g\) désigne la fonction étudiée dans la partie A.

2. a. Dresser le tableau de signes de la fonction  \(f^{\prime{\prime}}\)  sur \(]0 \;; +\infty[\) . Justifier.
    b. Justifier que la courbe  \(C_f\) admet un unique point d’inflexion \(\text A\) .
    c. Étudier la convexité de la fonction  \(f\) sur l’intervalle \(]0 \;; +\infty[\) . Justifier.

3. a. Calculer les limites de  \(f\) aux bornes de son ensemble de définition.
    b. Montrer que \(f^{\prime}(\alpha) =\dfrac{\text{e}^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)\) .
On rappelle que  \(\alpha\) est l’unique solution de l’équation \(g(x) = 0\) .
    c. Démontrer que  \(f^{\prime}(\alpha)>0\) et en déduire le signe de  \(f^{\prime}(x)\) pour  \(x\) appartenant à \(]0 \;; +\infty[\) .
    d. En déduire le tableau de variations complet de la fonction \(f\)  sur \(]0 \;; +\infty[\) .